A Comparative Study of 1D and 2D Structural Analysis Techniques for Cantilever Beams Using Physics-Informed Neural Networks (PINNs)

Jeongbae Jeon; Solhee Kim; Taegon Kim; Seongsoo Yoon

doi:10.5389/KSAE.2025.67.6.001

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Journal of Korean Society of Agricultural Engineers. 2025. 1–12
https://doi.org/10.5389/KSAE.2025.67.6.001

A Comparative Study of 1D and 2D Structural Analysis Techniques for Cantilever Beams Using Physics-Informed Neural Networks (PINNs)

물리정보 신경망 (PINN)을 활용한 외팔보의 1D 및 2D 구조해석 기법 비교 연구

Jeongbae Jeon^a

Solhee Kim^b

Taegon Kim^c^d

Seongsoo Yoon^e^†

전 정배^a

김 솔희^b

김 태곤^c^d

윤 성수^e^†

^aSenior Researcher, Spatial Information Research Institute, Korea Land and Geospatial Informatix Corporation

^bAssistant Research Professor, Department of Smart Farm, College of Agriculture & Life Sciences, Jeonbuk National University

^cAssistant Professor, Department of Smart Farm, College of Agriculture & Life Sciences, Jeonbuk National University

^dResearcher, Institute of Agricultural Science & Technology, Jeonbuk National University

^eProfessor, Department of Agricultural and Rural Engineering, Chungbuk National University

^†Corresponding author Tel.: +82-10-4337-8807 E-mail: yss@cbnu.ac.kr

ABSTRACT

This study compares one-dimensional (1D) and two-dimensional (2D) structural analysis techniques for cantilever beams using Physics-Informed Neural Networks (PINNs). Structural analysis is a fundamental technology for predicting the safety and performance of structures in various engineering fields, and recently, PINNs utilizing machine learning have emerged as a promising analytical methods. We evaluated the performance of PINNs for 1D Timoshenko beam models and 2D plane stress models. The results demonstrated that the 1D model achieved high accuracy with a maximum deflection error of 0.01% and rotation error of 0.14%, along with excellent computational efficiency, however, it had limitations in capturing stress concentration phenomena. In contrast, the 2D model showed improved accuracy in displacement prediction compared to the 1D model, with 32% improvement in the x-direction and 11% improvement in the y-direction, while accurately capturing stress concentration phenomena around the free end. These results confirmed that the 1D model is suitable for simple displacement prediction or applications where computational efficiency is critical, whereas the 2D model is appropriate for stress concentration analysis or complex stress state analysis. This study is significant in that it provides model selection criteria for effectively utilizing PINNs across various engineering fields, including agricultural engineering.

Keywords

Physics-informed neural networks

Timoshenko beam

plane stress

structural analysis

MAIN

Ⅰ. 서 론

구조해석 기법은 농공학을 포함한 건축, 토목, 기계, 항공우주 등 다양한 공학 분야에서 구조물의 안전성과 성능을 예측하는 핵심 기술이다. 특히, 구조물이 외부하중에 의해 발생하는 변위, 변형률, 응력 분포를 정확히 예측하는 것은 설계, 최적화, 안전성, 신뢰성 등 구조물 평가의 기본 요소이다. 전통적인 구조해석은 이론적 해석해 (Analytical Solution)와 수치해석 방법 (Numerical Analysis)이 있으며, 수치해석 분야에서는 유한요소법 (Finite Element Method, FEM)이 널리 사용되고 있다 (Cook, 2007; Landau et al., 2012). 이론적 해석해는 단순한 기하학적 형상과 하중 조건에 대해서 정확한 결과를 제공하지만, 복잡한 구조물에는 적용하기 어렵다는 한계가 있다. 반면 FEM은 복잡한 형상과 조건에 적용이 가능하지만, 모델링 과정의 복잡성, 대규모 행렬 연산으로 인한 높은 계산 비용, 그리고 전문적인 지식과 고가의 소프트웨어가 필요하다는 제약이 있다 (Zienkiewicz et al., 2005).

지난 10년간 컴퓨팅 자원의 급속한 발전과 함께 심층학습, 특히 심층 신경망 (Deep Neural Networks, DNN)은 혁신적인 발전을 이루어왔다. 이러한 배경에서 Raissi et al. (2019)은 편미분방정식 (Partial Differential Equation, PDE)으로 표현되는 물리법칙을 신경망에 직접 통합하는 물리정보 신경망 (Physics-Informed Neural Network, PINN)을 제안하였다. PINN은 물리법칙을 사전 지식으로 활용하여 적은 수의 데이터만으로도 정확한 해를 예측할 수 있다는 장점이 있다 (Raissi et al., 2019; Karniadakis et al., 2021). PINN 프레임워크에서는 완전연결 순방향 신경망을 사용하여 해를 예측하고, 신경망의 자동 미분 (Automatic Differentiation)을 통해 지배방정식의 미분 연산자를 계산한다. 자동 미분은 이산화와 근사화 과정이 필요 없는 연속적인 미분 절차로, 유한차분법과 같은 전통적인 수치해석 방법과는 달리 이산화 오차나 절단 오차가 발생하지 않는다는 것이 특징이다 (Yuan et al., 2022).

Raissi et al. (2019)이 PINN을 제안한 이후로 그 성능은 다양한 분야에서 입증되었다. 유체역학 (Cai et al., 2021; Sharma et al., 2023; Zhou et al., 2024), 열전달 해석 (Laubscher, 2021; Bararnia and Esmaeilpour, 2022; Zhang et al., 2022b), 재료역학 (Pun et al., 2019; Zhang et al., 2022a; Bharadwaja et al., 2022) 등 다양한 분야에 빠르게 적용되고 있으며, 특히 비선형 편미분방정식이 관여하는 순방향 및 역방향 문제 해결에 활용되고 있다. 구조해석 분야에서도 PINN의 응용이 확산되고 있는데, Vahab et al. (2022)는 직사각형 구조물과 보를 대상으로 평면변형률 문제에 따른 변위, 변형률, 응력을 예측하는 연구를 수행하였으며, Rao et al. (2021)는 1D bar와 2D defected plate를 대상으로 탄성동역학 문제에 적용하였다. 또한 Es’kin et al. (2024)은 빔 (외팔보)과 얇은 벽면의 2D와 3D 형상을 대상으로 탄성체의 변위와 응력을 예측하였으며, Roy et al. (2024)는 외팔보와 얇은 판을 대상으로 PINN을 활용한 신뢰성 해석을 수행하였다. 이처럼 구조역학에 관한 연구는 다양한 구조물을 대상으로 영역이 확대되어 가고 있다. Kim et al. (2025)는 PINN 기법을 적용하여 단동온실 프레임의 응력과 변형 예측을 시도함으로써 농업용 시설물의 구조해석에 PINN의 적용가능성을 제시하였다. 이처럼 국내에서 PINN을 활용한 사례는 해외에서 마찬가지로 유체역학, 열전달 해석, 재료역학 분야의 연구가 진행되고 있으나, 구조해석과 관련된 연구는 제한적인 상황이다.

본 연구에서는 구조해석에 PINN의 적용 방법과 성능을 분석하기 위하여 두가지 접근법을 비교하고자 하였다. (1) 1D 티모센코 보 (Timoshenko beam) 이론 기반 PINN 모델을 개발하고 재료역학 기본 이론에 따라 그 결과를 2D로 확장하는 방법, (2) 2D 평면 응력 (Plane stress) 문제를 직접 해결하는 PINN 모델을 개발하는 방법이다. 이를 통해 각 접근법의 정확도, 계산 효율성, 응력 집중 예측 능력을 비교하고, 구조해석 목적에 따른 적합한 모델 선택 기준을 제시하고자 한다. 연구대상으로는 구조역학의 기본 요소이며 이론적 해석이 정립되어 있는 외팔보 (Cantilever beam)를 선정하였다. 외팔보는 다양한 공학 구조물의 설계 및 해석에서 기본적인 구조물 중 하나이며, 농공학 분야에서 시설하우스, 축사, 창고 등의 구조물이 보와 기둥 같은 구조요소로 구성되어 있어, 외팔보 모델의 정확한 해석을 통해 전체 구조물의 안전성을 평가할 수 있다.

Ⅱ. 분석 방법

2.1. PINN 구조해석 프로세스

본 연구에서 PINN을 활용한 구조해석의 전체 프로세스는 Fig. 1과 같이 수행하였다. 구조해석 과정은 크게 문제 정의, 신경망 구조 설계, 물리 기반 손실함수 정의, 최적화 학습, 결과 분석의 단계로 구성된다.

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Fig. 1

PINN based structural analysis process

첫째, 문제 정의 단계에서는 외팔보의 형상, 하중 조건, 경계 조건을 설정한다. 1차원 티모센코 보 모델에서는 보의 길이 방향에 대한 단일 좌표계를 사용하며, 2차원 평면 응력 모델에서는 평면 좌표계를 활용한다. 둘째, 신경망 구조 설계 단계에서는 1D 모델의 경우 2개 은닉층 (각 30개 뉴런), 2D 모델의 경우 6개 은닉층 (각 30개 뉴런)으로 구성된 신경망을 설계한다. 이는 Haghighat et al. (2021)의 연구에 기반하여 단순 구조물에 적합한 깊이를 선택하였으며, Samaniego et al. (2020)이 제시한 2차원 공간의 복잡성 처리를 위한 권장사항을 반영하였다. 셋째, 물리 기반 손실함수 정의 단계에서는 지배방정식과 경계조건을 손실함수에 포함시킨다. 손실함수는 물리법칙 손실, 물리 손실, 경계조건 손실의 세 가지 주요 구성요소로 이루어진다. 넷째, L-BFGS 최적화 학습 단계에서는 정의된 손실함수를 최소화하도록 신경망의 파라미터 (가중치, 편향)를 최적화한다. 자동 미분을 통해 손실함수의 그래디언트를 정확히 계산하며, 이를 활용하여 물리법칙을 신경망 학습에 통합한다. 마지막으로, 결과 분석 및 평가 단계에서는 PINN 모델의 예측 결과를 FEM 해석 결과와 비교하여 정확도 및 성능을 평가한다. 처짐량, 처짐각, 응력 분포 등의 주요 물리량을 분석하고, 두 모델 간의 차이를 정량적으로 비교한다.

2.2. 문제 정의

본 연구에서는 외팔보를 대상으로 PINN 기법을 활용하여 구조해석을 수행하였다. 해석 대상은 1차원 티모센코 보 모델과 2차원 평면 응력 모델로 선정하였다. 1차원 보 해석에서는 높이가 얇은 보에 적용되는 오일러-베르누이 (Euler-Bernoulli) 이론 대신 티모센코 보 이론을 도입하였다. 오일러-베르누이 이론에서는 전단변형과 회전관성을 무시하고 평면 단면이 변형 후에도 중립축에 수직을 유지한다고 가정한다. 이로 인해 오일러-베르누이 이론에서는 전단변형에 따른 변위가 고려되지 않아 2차원 모델에 비해 변위가 상대적으로 작게 나타나는 단점이 있다 (Wang et al., 2000; Hutchinson, 2001; Reddy, 2006). 반면, 티모센코 보 이론은 전단변형을 고려하여 단면이 중립축에 대해 수직을 유지하지 않는 현실적인 변형 거동을 모델링 하기 때문에 오일러-베르누이 이론을 보완할 수 있다는 장점이 있다. 따라서 연구 결과의 정량적 비교를 위해 전단변형이 고려된 티모센코 보 이론을 고려하여 보다 정확한 1차원 모델링을 구현하였다.

PINN에 따른 외팔보 해석을 위한 하중, 경계, 도메인 조건은 Fig. 2와 같이 설정하였다. 외팔보는 무차원화하여 단위 높이와 길이를 1로 설정하였으며, 좌측은 고정단, 우측은 자유단으로 설정하였다. 1차원 보에서는 우측 자유단에 단위하중 (집중하중) 0.02를 적용하였으며, 2차원 보에서는 보의 중심축을 기준으로 각각 상하부 5%의 영역에 전단응력 (등분포하중) 0.1을 적용하였다. 2차원 보에서 일정 영역에 전단응력을 부과한 이유는 응력집중 현상의 유발하기 위함이며, 1차원 보에서의 집중하중과 크기를 동일하게 적용하기 위하여 0.1을 적용하였다. 마지막으로 재료 물성치로는 탄성계수는 1과 푸아송비 0.25를 사용하였다.

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Fig. 2

Definition of cantilever beam model

2.3. 물리법칙 기반 손실함수의 정식화

PINN은 편미분방정식으로 표현되는 물리법칙 (지배방정식)을 손실함수에 직접 포함시켜 학습하는 방식으로 본 연구에서는 1차원 티모센코 보와 2차원 평면응력 모델의 지배방적식을 기준으로 손실함수를 정식화 하였다. 우선 1차원 티모센코 보 이론의 지배방정식은 다음의 eq. (1)과 같이 표현된다.

(1)

\frac{d}{d x} (E I \frac{d θ}{d x}) = \frac{d}{d x} (k G A (\frac{d w}{d x} - θ)) = 0

여기서, 는 수직처짐, 는 회전각, 는 탄성계수, 는 단면 2차 모멘트, 는 전단탄성계수, 는 단면적, 는 전단 보정계수이다. 전단 탄성계수는 전단 변형에 대한 저항을 나타내는 물성치로, 탄성계수 와 푸아송비 를 이용하여 다음의 eq. (2)와 같이 계산된다.

(2)

G = \frac{E}{2 (1 + ν)}

Eq. (1)에서 전단 보정계수 는 보의 단면 형상에 따른 전단응력 분포의 불균일성을 고려하기 위한 계수로, 보의 단면 형상에 따라 달라진다. 직사각형 단면의 경우 일반적으로 을 사용하며, 원형 단면의 경우 를 사용한다. 본 연구에서는 단면의 폭을 단위길이 1로 가정하여 직사각형 단면으로 설정하였다.

1차원 티모센코 보 이론의 지배방정식에 따른 PINN 손실함수는 eq. (3)과 같이 물리법칙 손실 (PDE 손실)과 경계조건 손실 (BC 손실)의 합으로 구성되며, 이 두 손실함수를 최소화하여 물리법칙과 경계조건을 모두 만족하는 해를 찾아내게 된다.

(3)

L o s s = L_{P D E} + L_{B C}

여기서, 는 총 손실함수를 말하며, 는 지배방정식의 잔차에 기반한 물리법칙 손실로 eq. (4)와 같이 정의된다. 는 경계조건을 만족시키기 위한 경계조건 손실로 eq. (5)와 같으며, -0.5와 0.5는 외팔보의 에 따른 좌표를 의미한다.

(4)

L_{P D E} = \frac{1}{N} \sum_{i = 1}^{N} {[{|\frac{d}{d x} (E I \frac{d θ}{d x})|}^{2} + {|\frac{d}{d x} (k G A (\frac{d w}{d x} - θ))|}^{2}]}_{x_{i}}

(5)

L_{B C} = {|w (- 0.5)|}^{2} + {|θ (- 0.5)|}^{2} + {|E I \frac{d θ}{d x} (0.5)|}^{2} + {|k G A (\frac{d w}{d x} - θ) (0.5) - P|}^{2}

다음으로 2차원 평면 응력 상태의 지배방정식은 다음의 eq. (6)과 같이 표현된다.

(6)

\frac{\partial σ_{x x}}{\partial x} + \frac{\partial τ_{x y}}{\partial y} = 0, \frac{\partial τ_{x y}}{\partial x} + \frac{\partial σ_{y y}}{\partial y} = 0

여기서 는 수평응력, 는 수직응력, 는 전단응력이다. 이러한 응력들은 변형률과 관련되어 있으며, 평면응력 상태에서의 구성방정식은 다음의 eq. (7)과 같다.

(7)

σ_{x x} = \frac{E}{1 - ν^{2}} (ε_{x x} + ν ε_{y y}), σ_{y y} = \frac{E}{1 - ν^{2}} (ε_{y y} + ν ε_{x x}), τ_{x y} = \frac{E}{2 (1 + ν)} γ_{x y}

구성방정식에서 변형률 는 변위장 와 의 도함수로 정의된다. 즉, 물체의 변형 정도를 나타내는 변형률은 변위의 공간적 변화율로 다음의 eq. (8)과 같이 표현된다.

(8)

ε_{x x} = \frac{\partial u}{\partial x}, ε_{y y} = \frac{\partial v}{\partial y}, τ_{x y} = \frac{\partial u}{\partial y} + \frac{\partial v}{\partial x}

이러한 지배방정식을 기준으로 2차원 모델에 대한 PINN 손실함수 역시 eq. (3)과 같이 물리법칙 손실과 경계조건 손실로 구성할 수 있다. 2차원 모델에서 물리법칙 손실은 다음의 eq. (9)와 같이 평형방정식의 잔차로 정의될 수 있다.

(9)

L_{P D E} = \frac{1}{N} \sum_{i = 1}^{N} {[{|\frac{\partial σ_{x x}}{\partial x} + \frac{\partial τ_{x y}}{\partial y}|}^{2} + {|\frac{\partial τ_{x y}}{\partial x} + \frac{\partial σ_{y y}}{\partial y}|}^{2}]}_{x_{i} y_{i}}

여기서 평형방정식 잔차는 eq. (6)의 각 항이 얼마나 정확히 0에 가까운지를 측정하며, 이 값이 작을수록 물리법칙을 잘 만족시키는 해라고 볼 수 있다. 다음으로 2차원 모델의 경계조건 손실은 고정단, 자유단, 하중 적용부분의 조건들로 구성되며, 다음의 eq. (10)과 같이 표현된다.

(10)

L_{B C} = L_{f i x e d} + L_{f r e e} + L_{l o a d}

이 식에서 경계조건 손실은 외팔보의 각 경계에서 만족해야 하는 조건들에 대한 잔차의 합으로 구정되며, 각 경계조건 손실은 다음의 eqs. (11)~(13)과 같다.

(11)

L_{f i x e d} = \frac{1}{N_{f i x e d}} \sum_{i = 1}^{N_{f i x e d}} {[{|u|}^{2} + {|v|}^{2}]}_{x = - 0.5, y_{i}}

(12)

L_{f r e e} = \frac{1}{N_{f r e e}} \sum_{i = 1}^{N_{f r e e}} {[{|σ_{n}|}^{2} + {|τ_{n t}|}^{2}]}_{x = 0.5, y_{i}}

(13)

L_{l o a d} = \frac{1}{N_{l o a d}} \sum_{i = 1}^{N_{l o a d}} {|τ_{x y} - τ_{0}|}_{x = 0.5, |y_{i}| \leq 0.1}^{2}

여기서, 는 고정경계에서 변위 와 가 모두 0이 되어야 한다는 조건을 나타내는 것이며, 는 자유경계에서 수직응력 과 전단응력 가 모두 0이 되어야 한다는 조건을 반영한다. 마지막으로 는 하중이 적용되는 우측 경계 (=0.5)의 중앙 부분 ()에서 전단응력 가 지정된 값 와 일치해야 한다는 조건을 나타낸다.

2.4. 심층 신경망 모델

PINN 프레임워크에서 해를 근사하기 위해 사용되는 심층 신경망 모델의 구조는 Fig. 3과 같이 구성하였다. 1차원 티모센코 빔 모델과 2차원 평면 응력 모델에 대해 각각 다른 구조의 신경망을 설계하였다. 1차원 티모센코 빔 신경망 모델은 Fig. 3(a)와 같이 보의 위치 좌표 를 입력 받아 두개의 출력값 와 를 생성한다. 이때 신경망은 2개의 은닉층으로 구성되며, 각 층은 30개의 뉴런으로 구성하였다. Haghighat et al. (2021)는 구조역학 문제에서 2-4개 은닉층 (각 30-50개 뉴런)이 단순 구조물에 적합하다고 보고하였으며, 보의 처짐과 회전을 효과적으로 예측이 가능하다고 제시하였다. 이때 각 은닉층의 뉴런은 이전 층의 모든 뉴런과 완전 연결 (all connections) 되어 있고, 활성화 함수로는 tanh함수를 사용하여 비선형성을 도입하였다.

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Fig. 3

PINN neural network architecture

2차원 평면 응력 모델은 Fig. 3(b)와 같이 두 개의 별도 신경망을 구성하였다. 이 두 신경망은 동일한 입력 (, 좌표)을 공유하지만, 각각 다른 출력 변위 성분을 예측한다. 이렇게 각각의 신경망으로 따로 예측을 수행하는 이유는 각 변위 성분 (u, v)이 다른 물리적 특성을 갖기 때문이다. 또한, 분리된 네트워크 구조를 통해 각 방향의 변위 예측에 특화된 특징을 학습할 수 있으며, 이를 통해 모델 전체적인 표현력과 정확도를 향상시킬 수 있다 (Haghighat et al., 2021). 이때 신경망은 6개의 은닉층으로 구성되며, 각 층은 30개의 뉴런으로 구성하였다. 2차원 모델에서 은닉층의 수가 1차원 모델보다 많은 이유는 2차원 공간에서의 변위장 모델링이 더 복잡하기 때문이다 (Samaniego et al., 2020).

두 네트워크는 물리 법칙을 통해 결합 (coupled)되는데, 이는 손실함수에 포함된 물리적 관계식을 통해 구현된다. 와 는 실제 물리 현상에서 서로 영향을 주고 받는다. 이러한 상호작용은 평형 방정식, 구성 방정식, 변형-변위 관계를 손실함수에 포함하여 각각 변위를 예측하더라도, 물리법칙의 조건이 신경망 학습과정에 반영되도록 설정하였다. 또한 각 은닉층은 1차원 모델과 동일한 tanh 활성화 함수를 적용하였다. 이러한 신경망 구조는 복잡한 2차원 변위장을 모델링하기에 충분한 유연성을 제공하며, 물리적 제약조건을 충족시키는 해를 효과적으로 근사할 수 있다 (De Ryck et al., 2021; Cuomo et al., 2022).

마지막으로 신경망의 학습은 앞서 정의한 손실함수를 최소화하는 방향으로 진행된다. 이 과정에서 L-BFGS (Limited- memory Broyden-Fletcher-Goldfarb-Shanno) 최적화 알고리즘을 사용하였다. 이 알고리즘은 2차 미분 정보를 근사하여 빠른 수렴을 가능하게 하는 준 뉴턴 (quasi-Newton) 방식으로 PINN과 미분 방정식의 제약 조건이 있는 최적화 문제에 특히 효과적이다 (Liu and Nocedal, 1989; Raissi et al., 2019; Jagtap et al., 2020). 학습 과정에서는 자동 미분을 이용해 신경망 출력의 공간 도함수를 정확히 계산하고, 이를 통해 지배방정식의 잔차를 최소화함으로써 물리법칙을 학습에 통합하였다.

Ⅲ. 분석 결과 및 고찰

3.1. 티모센코 보 모델 분석 결과

1차원 티모센코 보를 대상으로 PINN 모델에 따라 처짐량 ()과 처짐각 ()을 예측하고, 이를 이론적 해석해와 비교 분석하였으며, 그 결과를 보의 길이 방향 (축)에 따른 과 분포에 대해 시각화하였다 (Fig. 4).

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Fig. 4

Comparison of displacement and rotation predictions between 1D Timoshenko beam model and analytical solution

PINN 모델이 예측한 과 은 이론적 해석해와 매우 유사한 결과를 보였다. 최대 (보의 자유단)의 상대오차는 0.01% 미만으로 나타났으며, 의 상대오차 역시 0.15% 이내로 매우 정확한 예측 결과를 나타냈다 (Table 1). 이러한 경향은 티모센코 보 이론의 지배방정식을 PINN의 손실함수에 직접 통합하는 접근법이 매우 효과적임을 시사한다.

Table 1

Comparison of maximum displacement and rotation for Timoshenko beam model

Parameter	PINN prediction	Analytical solution	Relative error (%)
Displacement ()	0.1424	0.1424	0.01
Rotation ()	0.1198	0.1200	0.14

학습과정에서도 보의 평균 제곱 오차 (Mean Square Error, MSE)가 지속적으로 감소하는 추세를 확인할 수 있다 (Fig. 5). Fig. 5에서 파란색 선은 에 대한 MSE, 빨간색 선은 의 MSE를 나타낸다. 학습 초기 (약 500 epoch)에는 및 에 대한 MSE가 10⁻³ 수준으로 높았으나, L-BFGS 최적화 알고리즘을 통해 물리법칙과 경계조건을 점진적으로 학습하면서 오차가 감소하는 추세를 보인다. 약 10,000 epoch에서 의 MSE가 10⁻⁷ 수준으로 급격히 감소한 후, 그래프에서 볼 수 있듯이 불규칙한 진동이 나타났다. 이러한 진동은 신경망이 지역 최적해 (local minimum)와 더 나은 해 사이를 탐색하는 과정에서 발생하는 것으로, 최적화 알고리즘이 손실함수의 전단변형과 굽힘변형을 모두 고려한 비선형 최적화 과정에서 더 나은 해를 찾아가는 과정으로 볼 수 있다. 16,500 epoch 이후에는 의 MSE가 10^-10 수준까지 감소하여 최대값 기준 상대 오차는 0.04% 수준으로 낮아지며, 최종적으로 20,000 epoch에서는 의 MSE는 10^-10 수준, 의 MSE는 10^-8 수준으로 수렴하며, 이때 최대값 상대 오차는 0.01%, 0.14% 수준을 달성하였다.

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Fig. 5

MSE reduction trend during training of Timoshenko beam model

이렇게 예측된 과 은 1차원적으로 보의 길이 방향 (축)을 따라서만 정의되어 있으나, 이를 활용하여 2차원 변위장으로 확장할 수 있다. 중립축 (보의 중심선)에서 얻은 이 값들을 전체 단면에 적용하기 위해, 단면이 변형 후에도 평면을 유지하며 선형적으로 변화한다는 가정을 도입하였다. 이 가정을 바탕으로 방향 변위 ()는 보의 높이에 따라 선형적으로 변하며 에 비례하고 , 방향 변위 ()는 보의 높이와 관계없이 이 동일하게 계산된다. 이러한 방식은 재료역학에서 굽힘모멘트와 전단력에 의한 응력분포를 구할 때 사용되는 표준적인 접근법으로, 보 구조물의 운동학적 거동을 모델링하는 이론적으로 확립된 방법이다 (Wang et al., 2000; Reddy, 2006). 이러한 방법으로 중립축의 1차원 정보를 이용해 상부단과 하부단을 포함한 단면 전체의 2차원 변위 분포를 구할 수 있으며, 2차원 변위장을 통해 응력 분포까지 계산이 가능하다. 의 길이 방향 미분 ()을 이용하여 수평응력 ()을 계산하고, 의 미분과 의 차이를 이용하여 전단응력 ()을 도출한다. 또한 수직응력 ()은 푸아송 효과에 의해 수평응력에 비례한다. 이렇게 계산된 응력을 이용하여 최종적으로 폰 미세스 (von-mises) 응력에 대한 계산이 가능하다. 폰 미세스 응력은 복합응력 상태를 단일 등가응력으로 나타내는 지표로, 자유단 부근에서 발생하는 응력집중 현상의 크기와 분포 경향을 명확히 파악하기 위해 활용하였다. 이러한 방식으로 1차원 과 을 이용하여 2차원 변위량과 응력으로 확장이 가능하며, 이렇게 계산된 응력 분포를 FEM 결과와 비교하였다 (Fig. 6).

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Fig. 6

Comparison of 2D displacement and stress distributions extended from 1D results with FEM results

1차원 결과를 통하여 확장된 2차원 변위장을 FEM과 비교한 결과 와 모두 매우 유사한 분포를 보였다. 최대 오차는 가 0.0078, 가 0.0213으로 낮은 수준이었으며, RMSE는 각각 0.0037, 0.0082로 나타났다. 응력 분포에서는 1D PINN 모델이 전반적인 경향을 유사하게 예측하였으나, FEM 결과에서 나타난 자유단 주변의 국부적 응력 집중 현상을 정확히 포착하지 못하는 한계를 보였다.

변위와 응력의 오차 분석 결과를 통해, 변위 성분보다 응력 성분에서 상대적으로 큰 오차가 발생함을 알 수 있다 (Table 2). 이는 응력이 변위의 미분으로 계산되어 오차가 누적되는 특성과 1D 모델의 단순화된 가정에 따른 한계로 볼 수 있다. 그럼에도 불구하고 MSE와 RMSE는 전반적으로 낮은 수준으로, 1D PINN 모델이 외팔보의 전반적인 거동 예측은 가능한 것으로 볼 수 있다. 다만, 응력집중과 같은 상황은 반영하지 못한 한계점을 가지고 있는 것으로 볼 수 있다.

Table 2

Error analysis between 1D PINN model and FEM results

Field	Max_Error	Mean_Error	MSE	RMSE
	0.007826	0.00308	1.38E-05	0.003712
	0.021253	0.006631	6.76E-05	0.008225
von-mises	0.172023	0.009757	0.00025	0.015811

3.2. 평면 응력 모델 분석 결과

2차원 평면 응력 보를 대상으로 PINN 모델에 따라 와 를 예측하는 모델을 분석하였다. 우선 1차원 모델에서와 동일한 조건인 2개의 은닉층을 가진 경우에서 분석을 수행한 후 한계점을 검토하고, 최종적으로 6개 은닉층으로 확대하여 분석을 수행하였다.

2개의 은닉층을 가진 2차원 PINN 모델을 FEM의 참조해와 비교를 통해 실제 정확도를 평가하였다. 2개의 은닉층을 가진 PINN 모델을 FEM 해와 비교한 결과 에서 약 8×10⁻⁴수준, 에서 4×10⁻³ 수준의 MSE에서 학습이 정체되는 한계를 보였다 (Fig. 7(a)). 특히 3,000 epoch 부근에서 급격한 오차 증가를 보인 후 높은 수준에서 유지되어, 2차원 평면 문제의 복잡성을 표현하는데 한계가 있음을 확인할 수 있었다. 반면 6개의 은닉층을 가진 PINN 모델은 변위에서 약 2×10⁻⁶ 수준, 변위에서 2×10⁻⁵ 수준으로 MSE가 감소하는 것으로 분석되었다 (Fig. 7(b)). 즉, 2개 은닉층 모델보다 6개 은닉층을 가진 모델이 보다 정확한 학습능력을 가진 것으로 볼 수 있으며, 학습과정 또한 6개의 은닉층을 가진 모델이 지속적인 성능향상을 보이는 것으로 나타났다. 이러한 결과는 2차원 평면 문제의 복잡성이 더 깊은 신경망 구조를 요구함을 보여주며, 문제의 차원성과 물리적 복잡도에 따른 네트워크 설계의 중요성을 보여준다.

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Fig. 7

Network depth effect on PINN accuracy: FEM comparison

앞서 분석한 학습 수렴성 결과를 바탕으로 우수한 성능을 보인 6층 PINN 모델을 선택하여 최종 변위 분포 및 정확도를 상세히 분석하였다. Fig. 7은 6층 PINN 모델이 예측한 변위 분포를 FEM 결과와 직접 비교한 결과로, 공간적 분포 패턴과 오차 크기를 시각적으로 확인하였다.

의 최대오차는 단면의 우측 상부와 하부단에서 0.0058로 나타났다. 이러한 이유는 단면에 걸친 굽힘 효과가 가장 크게 나타나는 지점이기 때문에 중립축보다 상대적으로 오차가 크게 나타나는 것으로 볼 수 있다. 또한 단면 전체의 평균 오차는 0.002로 나타났으며, RMSE는 0.0025로 나타났다. 이 결과는 1차원 모델의 RMSE (0.0037)보다 약 32% 높은 정확도로 변위를 예측하는 것으로 볼 수 있다. 의 최대오차는 0.0169로 나타났으며, 외부하중이 작용하는 우측 자유단으로 나타났다. 이 지점의 오차가 크게 발생한 이유로는 집중하중에 의한 국부적 변형이 크게 발생하는 영역으로, 해당 영역에서 급격한 변위를 신경망이 완벽하게 포착하지 못해 오차가 상대적으로 큰 것으로 판단된다. 또한 단면 전체의 MSE는 0.0062, RMSE는 0.0073으로 1차원 모델의 RMSE (0.0082) 보다 약 11% 정확도가 향상되었다 (Table 3).

Table 3

Error analysis between 2D plane stress PINN model and FEM results

Displacement	Max_Error	Mean_Error	MSE	RMSE
	0.0058	0.00202	6.16E-06	0.002481
	0.016869	0.00624	5.29E-05	0.007273

2D PINN 모델에서의 응력 분석은 변위장에서 직접 응력을 계산하는 방식으로 이루어졌다. 평면 응력 상태에서 변형률-변위 관계식을 이용하여 변형률을 계산하고, 이를 탄성 구성방정식에 대입하여 응력 성분들을 도출하였다. 탄성계수 와 푸아송비 를 이용한 구성방정식을 통해 변형률로부터 응력 성분들을 계산하였으며, 이를 바탕으로 폰 미세스 응력을 도출하였다 (Fig. 8).

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Fig. 8

Comparison of 2D PINN and FEM stress fields

계산된 응력 분포를 FEM 결과와 비교한 결과, 전반적으로 매우 유사한 분포를 보였으나 일부 영역에서 차이가 관찰되었다. 의 RMSE는 0.0101로 나타났으며, 최대 오차는 고정단 상하부에서 0.1297로 발생하였다. 의 RMSE는 0.0071, 의 RMSE는 0.0054로, 전단응력 예측의 정확도가 가장 높게 나타났다. 폰 미세스 응력의 경우 RMSE가 0.0141로 나타났으며, 최대 오차는 0.1912로 자유단 하중 적용 부위에서 관찰되었다 (Table 4).

Table 4

Error analysis between 2D plane stress PINN model and FEM results for stress components

Stress	Max_Error	Mean_Error	MSE	RMSE
	0.129657	0.00454	0.000102	0.010098
	0.13295	0.002936	4.99E-05	0.007063
	0.108071	0.003023	2.93E-05	0.005416
von-mises	0.191184	0.007535	0.000198	0.014054

특히 주목할 점은 2D PINN 모델이 자유단 중앙부의 응력 집중 현상을 정확하게 포착하였다는 것이다. Fig. 8(b)와 (c)에서 볼 수 있듯이, 하중이 적용된 영역 부근에서 발생하는 국부적 응력 집중이 FEM 결과와 거의 동일하게 나타났다. 이는 1D 모델에서 응력 집중 현상을 정확히 예측하지 못했던 한계를 2D 모델에서 성공적으로 극복한 것으로, 복잡한 구조물의 국부적 응력 상태를 분석하는 데 있어 2D PINN 모델의 우수성을 보여준다.

응력 성분별 오차 분석 결과, 1D 모델에서 확장된 결과보다 2D 모델의 예측 정확도가 전반적으로 향상되었음을 확인할 수 있다. 의 경우 정확도가 약 5.6% 향상되었으며, 52.3%, 26.0%가 향상되었다. 폰 미세스 응력의 경우에도 약 10.8% 향상된 결과를 보였다. 특히 응력 집중이 발생하는 영역에서의 예측 정확도 향상이 두드러졌으며, 이는 2D 모델이 보다 복잡한 응력 상태를 직접 모델링할 수 있기 때문으로 판단된다.

Ⅳ. 결 론

본 연구에서는 물리정보 신경망 (PINN)을 활용하여 1D 티모센코 보 모델과 2D 평면 응력 모델을 대상으로 구조해석을 수행하여 PINN의 성능을 평가하였다. 1D 티모센코 보 모델 기반 PINN은 이론적 해석해와 비교하여 최대 처짐량에서 0.01%, 처짐각에서 0.14%의 매우 낮은 상대오차를 보이며 높은 정확도를 달성하였다. 이는 티모센코 보 이론이 전단변형을 고려하여 보의 거동을 정확하게 묘사하기 때문으로 판단된다. 계산 효율성 측면에서도 1D 모델은 30개 뉴런을 가진 2개의 은닉층만을 사용하여 학습 속도가 빠르고 계산 자원 요구량이 적다는 장점을 보였다.

2D 평면 응력 모델 기반 PINN은 변위와 응력 모두에서 높은 정확도를 달성하였다. 변위 예측에서 방향 변위의 RMSE가 1D 모델 대비 약 32%, 방향 변위는 약 11% 향상되었다. 특히 1D 모델이 예측하지 못했던 자유단 부근의 응력 집중 현상을 성공적으로 포착하였는데, 이는 실제 2D 공간에서의 복잡한 변형 거동을 직접 모델링할 수 있기 때문이다. 응력 성분별 예측 정확도에서도 수평응력 5.6%, 수직응력 52.3%, 전단응력 26.0%, 폰 미세스 응력 10.8%의 향상을 보였다.

1D 결과를 2D로 확장하는 방법은 변위 예측에서는 적절한 정확도를 제공했지만, 자유단 주변에서 발생하는 국부적 응력 집중 현상을 정확히 포착하지 못하는 한계를 나타냈다. 이는 단면이 변형 후에도 평면을 유지한다는 1D 모델의 기본 가정에서 기인하는 것으로, 복잡한 구조물이나 응력 집중이 중요한 문제에서는 설계 안전성에 영향을 줄 수 있는 제한이 있다.

따라서 이와 같은 결과는 구조해석을 위한 PINN 적용 시 해석 목적에 따라 모델 선택이 중요한 요소임을 시사한다. 단순한 변위 예측이나 계산 효율성이 중요한 경우에는 1D 모델이 적합하며, 응력 집중 분석이나 복잡한 응력 상태 분석이 필요한 경우에는 2D 모델을 선택하는 것이 타당하다고 사료된다. 본 연구는 PINN을 구조해석에 적용하는 효과적인 접근법을 제시하고 모델 선택 기준을 제공함으로써, 농공학을 포함한 다양한 공학 분야에서의 PINN 활용 가능성을 확인하였다는 점에서 의의가 있다. 향후 연구에서는 비선형 재료 거동, 동적 하중 조건, 3D 구조물 등으로 연구 범위를 확장하여 PINN의 적용 가능성을 더욱 확대할 필요가 있다. 또한 신경망 구조 최적화, 학습 알고리즘 개선 등을 통해 PINN의 정확도와 효율성을 향상시키는 연구가 필요하다.

감사의 글

이 논문 (연구실적물)은 2019학년도 충북대학교 연구년제 지원에 의하여 연구되었음 (This work was conducted during the research year of Chungbuk National University in 2019).

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Journal of Korean Society of Agricultural Engineers ISSN:1738-3692(Print) 2093-7709(Online) 한국농공학회논문집

Preview

A Comparative Study of 1D and 2D Structural Analysis Techniques for Cantilever Beams Using Physics-Informed Neural Networks (PINNs)

ABSTRACT

MAIN

Fig. 1

Fig. 2

(1)

(2)

(3)

(4)

(5)

(6)

(7)

(8)

(9)

(10)

(11)

(12)

(13)

Fig. 3

Fig. 4

Table 1

Fig. 5

Fig. 6

Table 2

Fig. 7

Table 3

Fig. 8

Table 4

감사의 글

REFERENCES